宇宙微波背景辐射的偏振（极化）

本文部分内容编译自Wayne Hu的CMB主页：

http://background.uchicago.edu/~whu/

http://background.uchicago.edu/~whu/polar/webversion/polar.html

这实际上为 Hu的一篇名为“a CMB polarization primer”的review

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一、介绍

为什么科学家们对宇宙微波背景辐射（Cosmic Microwave Background, 以下简称CMB）中温度的起伏如此感兴趣？一个非常主要的原因在于由CMB温度各向异性导致的CMB光子偏振现象验证了早期宇宙密度的不均匀性——这些最初密度的微小起伏最终演化成了我们现在宇宙中的大尺度结构。如果理论的预言是正确的话，早期宇宙密度的不均匀性于最终散射时刻在CMB的温度起伏中造成了偏振现象。通过研究CMB中的偏振现象，有助于科学家们研究早期宇宙密度起伏的种种性质。科学家们通过对CMB偏振的观测能够重建早期宇宙密度起伏的模型。

除此之外，对CMB偏振现象的研究为科学家们提供了直接研究最终散射的工具。CMB的温度起伏有标量、矢量和张量三种成分，不同成分所对应的偏振现象都不相同，通过研究CMB的偏振能够帮助科学家们更好地区分这些不同的成分，进一步构造CMB温度的功率谱和宇宙模型。

最后，CMB偏振的功率谱是对CMB温度功率谱的一个补充。这有助于打破宇宙学参数的简并从而对宇宙学参数做出更好的的限制。

谈到这里，究竟CMB的偏振是如何产生的呢？线性偏振的程度和CMB温度起伏的四极距有直接的联系，但偏振的具体性质由产生温度起伏的具体机制决定。偏振的峰值出现那些比最终散射时刻的视界小一些的尺度上。偏振在温度起伏中所占据的比例非常小，因为只有那些最终散射时刻处在光学薄区域的光子才能够获得四极各向异性——这一比例取决于最终散射持续的时间长短。

我们将在第二部分介绍由Thomson散射源造成的偏振性质，在第三部分讨论偏振的分布图以及和温度分布的相关性。你可以在下面的这些文献中学习到一些具体的相关数学知识：[Kamionkowski et al.] (1997), [Zaldarriaga & Seljak] (1997), [Hu & White] (1997), [Bond & Efstathiou] (1984) , [Polnarev] (1985)

二、汤姆孙散射

1、从各向异性到偏振

Thomson散射的微分散射截面定义如下：

这里的ε和ε ‘分别表示入射和出射光偏振的方向。

见下面的图1，两束入射光以相隔90度的角度入射（在图中分别用红色和兰色表示）到位于原点的电子。出射方向为与两入射方向都垂直的角度。两个方向的入射光都可以分解为互相垂直的两个振动方向，经过电子的Thomson散射后，其中与观测方向平行的分量消失了，仅保留下一个分量（见图1）。

如果入射光是各向同性的（各方向均有入射），那么出射光将不表现出偏振的特性；反之，如果入射并非各向同性（比如如图所示两个垂直方向的入射）那么出射光将表现出偏振的性质。

图1

这种不同温度的入射光相隔90度入射的情况对应于CMB温度起伏的四极子部分。把辐射场对求谐函数做四极展开，对应于四极展开的部分为l=2,m=0,+1,-1,+2,-2。球谐函数的正交性质保证了其他展开的分量不可能由Thomson散射造成出射光的偏振现象。于是对CMB偏振分布的研究工作转化成了对最终散射时刻温度四极起伏的研究。

偏振的强度和角度可以用Stokes参量U和Q表示为：

换句话说，Stokes参量Q和U表示强度矩阵的对角元素和非对角元素：

对应于N-S（E-W）方向的偏振Q>0(Q<0)，对应于NE-SW（NW-SE）方向的偏振U>0(U<0)。

之前提到过CMB的温度扰动对应于三个不同的几何分量：标量（压缩）、矢量（旋转）和张量（引力波）。他们形成了对称度规张量的不可约基底。下面我们将对它们逐一进行分析，并指出标量、矢量和张量分别对应于m=0;m=-1 +1和m=-2 +2的情况。

2、标量扰动

标量扰动对应的是最终散射时刻宇宙物质流的密度扰动，它是唯一能够由引力不稳定性形成后来宇宙中结构分布的扰动源。

考虑一个平面波形式的扰动，在初始扰动下温度场和密度场随着时间演化，温度和密度的不均匀导致了光子和重子物质的流动，流动导致了偶极各向异性。

我们来定义一个有效温度：

这里的Ψ表示引力势。物质一般从有效温度高的地方流向有效温度低处。换句话说，影响物质运动的作用不只是引力，还有压强（温度）。之后我们在图中所标出的“hot”“cold”等字对应的都是有效温度。

我们可以用图2所描绘的图象来解释密度和温度的不均匀所导致的偏振图象。考虑的是平面波扰动，位于中间的平面所表示的是波谷（有效温度最低处），原点取在波谷所在平面的中央，热的光子从两端的波峰（有效温度最高处）沿着第三个坐标轴K方向流向位于波谷的原点，同时原点被周围的冷光子所包围。这种模式对应m=0的四极成分：

这里的θ是K方向和观测者方向的夹角。

图2

如果原点位于波峰，那么光子流动的方向和温度相反，但这并不改变物理本质。于是我们可以用一个经过平面波调制的四极子来描述总的冷热光子分布的物理图象：

在平面波的调制下，光子对整个天空的分布见图3_b，位于中央的观测者从不同的方向来观测CMB时将会获得不同的投影（图3_a），而之前提过：当冷热光子入射的角度间隔为90度时(对应于图3_a的第三种观测情况)，散射光的偏振程度达到最大，于是我们将由此获得CMB偏振的强度和方向对整个天空的分布情况（见图3_b和图4，注意这里的偏振成分不只有一种，夹角为45度的令一种模式也符合物理图景，这将会在第三章具体介绍）。

图3

图4

当然实际的扰动情况并非一定沿着K方向，我们只需要将所得到的偏振分布图进行旋转就可以了（见图5）。

图5

标量扰动产生的偏振对应的Stokes参量为：

3、矢量扰动

矢量扰动由物质的涡旋运动造成。涡旋运动受到宇宙膨胀所带来的阻碍，但温度扰动的大小并不受到影响，因为ΔT和T的变化程度是一致的。对于一个平面波扰动，速度的方向和K方向垂直。见下面的图6，物质运动所带来的Doppler效应产生了四极温度各向异性，四个波瓣的方向与速度和K方向的夹角均为45度。这种模式对应m=1或-1的四极成分：