2DARK天文志

关于袁老师讲义中时空投影算符的一点补充：

时间方向是观察者的四速度矢量$U^\mu$，故求观测量$A^{\mu}$的时间分量可先求投影模长$－A^{\mu}U_\mu$，再乘上时间方向的单位矢量$U^\mu$,即相当于作用于张量$\pi^{\mu\nu}=-U^{\mu}U^\nu$上。即

$A^{\mu}_t=A^{\nu}\pi^\mu_\nu$  （1）

空间方向同时间方向垂直，观测量可以分解为这两个垂直方向分量之和，即

$A^{\mu}=A^{\mu}_t+A^{\mu}_s$ （2）

可令空间投影算符为$h^{\mu\nu}$，

即$A^{\mu}_s=A^{\nu}h^\mu_nu$  （3）

利用

$A^{\mu}=A^{\nu}\delta^\mu_\nu$ （4）

将（1）（3）（4）代入（2），则

$\delta^\mu_\nu＝\pi^\mu_\nu+h^\mu_\nu$

升标后即有

$g^{\mu\nu}＝\pi^{\mu\nu}+h^{\mu\nu}$